Axiomas de David Hilbert

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Durante los años, habían incomodado a los matemáticos las asunciones sin especificar de la geometría euclidiana, la fundación de la geometría por cerca de 2000 años. Una de estas asunciones sin especificar es el concepto de “betweenness”. En el siglo a principios de siglo 20, David Hilbert (1862-1943) volvió a trabajar los axiomas del trabajo de Euclid. Él amplió los axiomas de la original cinco de Euclid a 21 axiomas en cinco grupos. Este artículo se basa en gran parte en las fundaciones de Geometry1, 2da edición inglesa de David Hilbert.

David Hilbert identificó tres sistemas básicos de los objetos para la geometría: puntos, líneas, y planos. El elemento de la línea geometría es el punto. Los elementos de la geometría plana son el punto y la línea. Los elementos de la geometría de espacio son puntos, líneas, y planos.

Los puntos, las líneas y los planos tienen relaciones específicas. Este la relación es descrita por los axiomas de la geometría:

espacio de espacios en blancoI. Axiomas de la incidencia,
espacio de espacios en blancoII. Axiomas de la orden,
espacio de espacios en blancoIII. Axiomas de la congruencia,
espacio de espacios en blancoIV. Axioma de paralelos, y
espacio de espacios en blancoV. Axiomas de la continuidad.

I. Axiomas de la incidencia

Los medios de la “incidencia” de la palabra un objeto geométrico pueden contener otro (véase la incidencia, Dictionary.com). Por ejemplo, una línea puede contener un punto y, de hecho, se debe componer por lo menos de dos puntos. Los axiomas de la incidencia son:

I, 1.

Para cada dos puntos de A y B, existe una línea que contenga cada uno de estos puntos.

Axioma I, medios 1 si uno escoge cualesquiera dos puntos, debe haber una línea que conecta esos dos puntos. Para ver la lógica de esto, intente pensar en dos puntos en el espacio que no se puede conectar por una línea. En el cuadro 1, chasque encendido los puntos amarillos y arrástrelos. Donde los puntos se ponen nunca (excepto encima de uno a), hay una línea que pasa a través de ellos.

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Cuadro 1: Axioma I, 1.
I, 2.

Para cada dos puntos de A y B, existe no más de una línea que contenga cada uno de estos puntos.

El axioma I.2 indica que hay exactamente una línea que pasa a través de dos puntos dados. En el cuadro 2, chasque encendido uno de los puntos amarillos y muévalo derecho encima del otro punto amarillo. ¿Usted ve una línea o dos?

Cuadro 2: Axioma I, 2
I, 3.Existen por lo menos dos puntos en una línea. Existen por lo menos tres puntos que no mientan en una línea.

Intente imaginarse una línea que tenga solamente un punto. Es una no línea, sino un punto. Tan cada línea debe tener por lo menos dos puntos. En el cuadro 3, chasque encendido uno de los puntos amarillos y arrástrelo encima del otro. ¿La línea todavía existe?

Las segundas declaraciones implican la existencia de un plano. Si hay por lo menos tres puntos que no mienten en una línea, allí debe existir una cierta construcción matemática para contener estos tres puntos. Esta construcción es el plano.

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Cuadro 3: Axioma I, 3
I, 4.

Para cualquier tres puntos de A, B, y C, existe un a plano que contenga los puntos A, B, y C. Para cada plano existe un punto que mienta en el plano.

I, 5.

Para cualquier tres puntos de A, B, y C que no mienta en una y la misma línea, existe no más de un plano que contenga cada uno de los tres puntos.

I, 6.

Si dos puntos de A y B de la línea una mentira en un a plano, entonces cada punto de mentiras en a.

I, 7.

Si dos planos, a y ß tienen un punto A en campo común, después el tener por lo menos un punto B en campo común.

I, 8.

Existen por lo menos cuatro puntos que no mientan en un plano.

II. Axiomas de la orden

II, 1.Si un punto B miente entre un punto A y un punto C entonces los puntos A, B, y C son tres puntos distintos y B también miente entre C y el A.
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Figura??: Axioma II, 1.
II, 2.Para dos puntos de A y C, existe siempre por lo menos un punto B en la línea CA tales que C miente entre A y el B.
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Figura??: Axioma II, 2.
II, 3.De cualquier tres puntos en una línea existe no más de una que mienta entre los otros dos.
II, 4.Deje A, B, y C sea tres puntos que no mienten en una línea y no dejan un una línea en el ABC del plano que no resuelve los puntos uces de los A, B, o C. Si la línea los pasos a través de un punto del segmento AB, él también pasa a través de un punto de la CA del segmento o a través de un punto del segmento A.C.
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Figura??: Axioma II, 4.

III. Axiomas de la congruencia

III, 1.Si A y B son dos puntos en la línea a, y A es un punto en iguales o en otra línea a', entonces es siempre posible encontrar otro punto B en un lado dado de la línea a con A tales que el segmento AB es congruente o igual al segmento A'B'. En símbolos, = a'b'. del AB.
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Figura??: Axioma III, 1.
III, 2.Si un segmento A'B y un segmento A '' B '' es congruente al mismo segmento AB, después el segmento A'B es también congruente al segmento A '' B ''. Brevemente, si dos segmentos son congruentes tercer sea congruente el uno al otro.
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Figura??: Axioma III, 2.
III, 3.En una línea deje el AB y sea A.C. dos segmentos que, a excepción de B no tienen ningún punto en campo común. Además, en iguales u otra línea a', deje A'B y B'C ser dos segmentos que, a excepción de B también no tienen puntos en campo común. En ese caso, si = A'C'. de la CA del = A'B del AB y A.C. del = B'C', entonces.
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Figura??: Axioma III, 3.

IV. Axioma de paralelos

V. Axiomas de la continuidad

Referencias

  1. Hilbert, David. Fundaciones de la geometría. 2do Adición inglesa. Traducido por Leo Unger. Audiencia pública. 1990.

Más información

  • McAdams, David. Geometría euclidiana. AllMathWords.org. Life is a Story Problem.org. 2009-04-03. http://www.allmathwords.org/article.aspx?lang=en&id=Euclidean%20Geometry.

Citar este artículo como:


Axiomas de David Hilbert. 2009-04-03. Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. http://www.allmathwords.org/es/h/hilbertaxioms.html.

Traducciones

La historia de revisión


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish. (babelfish.yahoo.com.)
2008-06-07: Deletreo corregido (McAdams, David.)
2008-04-07: Versión inicial (McAdams, David.)

Contribuidores


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish.
2008-04-07: Sido autor por David McAdams.

Revisiones formales

SinópticoFecha de la revisiónContribuidorRevisiónNotas
FIRST: Evalúe el artículo para la validez general.2009-04-30
TRAN01: Valide la traducción automática del artículo. Corrija los equtions, el formato y los errores obvios de la traducción.2009-05-10

Para hacer

  1. Repase la utilidad del artículo.
  2. Repase las ecuaciones y los cálculos en el artículo.
  3. Revisión contenta
  4. Repase la traducción del artículo.

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