Elipse

elipses horizontales y verticales.
Cuadro 2: Elipses horizontales y verticales.

Una elipse es una curva cerrada que se puede representar por la ecuación

(x-h)^2/(a^2)+ (y-k)^2/b^2=1, a>b>0
si el eje mayor es horizontal, o
(y-k)^2/(a^2)+ (x-h)^2/b^2=1, a>b>0
si el eje mayor es vertical.
Variables y parámetros en la ecuación elíptica
Variable o
Parámetro
Descripción
xEl x variable representa el eje horizontal.
yLa y variable representa el eje vertical.
aEl parámetro a representa la longitud del eje del semimajor.
bEl parámetro b representa la longitud del eje de semiminor.
hEl parámetro h representa la posición de x del centro de la elipse, que está en la intersección del eje mayor y del eje menor.
kEl parámetro k representa la posición de y del centro de la elipse, que está en la intersección del eje mayor y del eje menor.
Cuadro 1

Un plano que interseca un cono que forma una elipse.
Cuadro 1: Elipse como sección cónica. Cortesía de imagen Marcelo Reis. La imagen autorizó debajo de licencia libre de la documentación del GNU. Chasque encendido la imagen para más información.

Cada elipse tiene dos ejes, un eje mayor y un eje menor. Cada eje es una recta alrededor de la cual la elipse es simétrica. Uno es horizontal y el otro es vertical. El eje mayor de una elipse es el más grande de las dos ejes. El eje menor de una elipse es el más pequeño de las dos ejes. La mitad del eje mayor se llama el semieje mayor. La mitad del eje menor se llama el semieje menor. En la ecuación para la elipse, a es la longitud del semieje mayor, y b es la longitud del semieje menor.

(h, k) es un punto en el centro de la elipse. h cambiante mueve la elipse el al izquierdo o derecho. k cambiante mueve la elipse hacia arriba o hacia abajo.

Una elipse es una sección cónica formada intersecando un plano con un cono.

Propiedads de una elipse

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El manipulante 1: Propiedad de una Elipse. Tecleo para el manifestante de la sala de clase. Creado con GeoGebra.

Las puntos finales del eje horizontal están en (h+a, k), (h-a, k). Las puntos finales de la elipse horizontal están en (h, k+b), (h, k-b). En el manipulante 1, chasque encendido el “Demuestre el eje mayor? para ver el eje mayor y para chascar uno el “Demuestre el eje menor? para ver el eje menor. Chasque encendido los puntos azules en los resbaladores en el manipulante 1 y arrástrelos para cambiar la elipse.

Cada elipse tiene dos focos. Cada foco se puede encontrar en el eje mayor. (raíz de h+square de c, k), (raíz del h-cuadrado de c, k) para una elipse horizontal, o (h, raíz de k+square de c), (h, raíz del k-cuadrado de c) donde c^2=a^2-b^2. Los focos son dos puntos en el eje mayor de la elipse. Para cada punto en la elipse, la suma de la distancia de ese punto a los focos es igual a 2a. Chasque encendido “Demuestre los focos? en el manipulante 1 para demostrar los focos. Chasque encendido el punto azul en la elipse y arrástrelo para cambiar la figura.

La excentricidad de una elipse es una medida de cuánto se cambia de un circunferencia. En el caso donde está el b=a, la elipse un circunferencia y la excentricidad es 0. La fórmula para la excentricidad de una elipse es

raíz del e=square (1 (b/a)^2)
donde b<a. Otra forma de la ecuación de la elipse utiliza la longitud del semije major y de la excentricidad:
y^2= (a^2-x^2) (1-e^2)

Una elipse se puede también definir con un punto del foco y una directriz. Una elipse es todos los puntos tales que el razón de la distancia del foco al punto en la elipse dividida por la distancia del punto en la elipse a la directriz es igual al razón de c a el a.

Bosquejar una elipse

La forma general de la ecuación elíptica es

(x-h) ^2/a^2+ (y-k) ^2/a^2=1.
El bosquejo estará de la ecuación elíptica
(x-1) ^2/9+ (y+2)^2/4=1.
PasoEjemploDescripción
1El sistema coordinado de cartesiano con el punto (1, - 2) trazó Primero, trace el centro de la elipse en (h, k). En este ejemplo (h, k)= (1, - 2).

Para x-coordine, comience con x-h=x-1. Ahora reste x de ambos lados para conseguir - h=-1. Multiplique ambos lados por -1 para conseguir h=1.

Para y-coordine, comience con y-k=y+2. Ahora reste y de ambos lados para conseguir - k=2. Multiplique ambos lados por -1 para conseguir k=-2.

2Sistema coordinado de cartesiano con los puntos (- 2, - 2) y (4, - 2) trazado Ahora trace las puntos finales del eje horizontal. La punto final izquierda está en (ha, k). En este caso eso está (1-3, - 2) = (- 2, - 2). Trace la punto final correcta en (h+a, k). Para esta ecuación (1+3, - 2) = (4, - 2).
3Sistema coordinado de cartesiano con los puntos (1.1) y (1, - 5) trazado Ahora trace las puntos finales del eje horizontal. La punto final inferior está en (h, k-b). En este caso eso está (1, - 2-2) = (1, - 4). Trace la punto final superior en (h, k+b). Para esta ecuación (1, - 2+2)= (1.0).
4Sistema coordinado de cartesiano con la elipse (x-1) ^2/9+ (y+2)^2/9=1 trazó Ahora bosqueje la elipse.
5Sistema coordinado de cartesiano con la elipse (x-1) ^2/9+ (y+2)^2/9=1 trazó con los focos Para trazar los focos, calcule el valor de la C. La ecuación para c es c^2=a^2-b^2. Usando los valores de a y de b c^2=9-4=5, y la raíz del c=square de 5 es cerca de 2.24.. Puesto que el eje principal es el eje horizontal, los focos están en (h+-c, k). Substituir los valores da (1-2.24, - 2) = (- 1.24, - 2) y (1+2.24, - 2) = (3.24, - 2).
Cuadro 2

Más información

  • elipse. buscon.rae.es. Real Academia Española. 2009-04-20. http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=elipse.

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Elipse. 2009-04-03. Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. http://www.allmathwords.org/es/e/ellipse.html.

Traducciones

créditos de imagen

  • Todas las imágenes y manipulatives están por David McAdams a menos que estén indicadas de otra manera. Todas las imágenes de David McAdams son & de los derechos reservados; © Life is a Story Problem.org y se puede reproducir para el uso educativo no comercial solamente.

La historia de revisión


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish. (babelfish.yahoo.com.)
2009-03-10: Defintion agregado del eje de una elipse (McAdams, David.)
2008-12-10: Versión inicial (McAdams, David.)

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