Número complejo

Un número complejo es un número que contiene dos porciones: una parte real y una partición “imaginaria”. La parte real es cualquier número real. La parte imaginaria es un número real multiplicado por la unidad imaginaria escrita como la letra minúscula “i”. La unidad imaginaria i representa squareroot (- 1).

Los números complejos se escriben típicamente en la forma a+bi donde está a la parte real y el bi es la partición imaginaria. a+bi se pueden también escribir a+b*squareroot(-1) o a+squareroot(-b^2)

Un número imaginario es un número complejo sin parte real, por ejemplo squareroot (- 5) o 6.2i. Esto a veces se llama un número imaginario puro.

marca de cheque Cheque de comprensión

Clasificar números

Para cada número, decida qué clase o clases a las cuales cada número pertenece. Chasque “sí” o “no” bajo cada clase de números. Un número puede pertenecer a más de una clase.

NúmeroComplejoRealImaginario puro
6-6i no no no
5 no no no
2i no no no
-3+4x no no no
Cuadro 1: Clasificar números

Plano complejo

Plano complejo con 4+6i, -2+2i, -6, -6-4i, -4i, 6-2i, 8+4i trazado
Cuadro 1: Plano complejo

Los números complejos se pueden representar como puntos en el plano complejo. Como el plano de cartesiano, el plano complejo tiene dos ejes: el eje real y el eje imaginario. El eje real es el eje horizontal. El eje real es también la Recta numérica real, puso en el plano complejo. El eje vertical es el eje imaginario.

En el cuadro 1, encuentre el punto 4+6i, que es rojo. Observe que corresponde a 4 en el eje real y a 6 en el eje imaginario. Cada punto se traza la misma manera. Si un número no tiene ninguna parte imaginaria, es un número real, y se encuentra en el eje real. En el cuadro 1, -6 es un número real en el eje real. Si un número es un número imaginario, se encuentra en el eje imaginario. El número -4i en el cuadro 1 es un ejemplo de un número imaginario en el eje imaginario.

Exponents de i

Tabla de exponents de i
exponenteValor
i1i
i2i·i = -1
i3i·(- 1) = - i
i4i·(- i) = - i2 = -(-1) = 1
i5i·1 = i (véase i1)
i6Tecleo para el answer.
i7Tecleo para el answer.
i8Tecleo para el answer.
Cuadro 1: Exponentes de i
Al simplificar las expresiones que contienen el constante imaginario i, es importante saber los valores de las exponentes integrales del i. Para entender esto, recuerde la definición de i: raíz del i=square (- 1). Puesto que la función de raíz cuadrada es lo contrario de la función cuadrada (raíz cuadrada (a)) ^2=a. Así pues (raíz cuadrada (- 1))^2=(i)^2=-1. El cuadro 1 da los valores de las primeras cinco exponentes integrales del I. ¿Puede usted imaginar los tres siguientes? Subido con su respuesta, entonces chasque encendido el “tecleo para la respuesta” para comprobar su respuesta.

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El manipulante 1: Exponentes del i. creadas con GeoGebra.

Sumar de números complejos

Al sumar números complejos, agregue las piezas correspondientes. Sumar las partes reales juntas y las piezas imaginarias juntas:
a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i

Aquí están algunos ejemplos:
3+2i + 1-3i = (3+1)+(2-3)i = 4-1i = 4-i
4+1i + -2+2i = (4-2)+(1+2)i = 2+3i

Multiplicar números complejos

Para multiplicar números complejos, utilice la regla de tres:
×(a+bi)
×(c+di)
×(a·c + bc
×(a·c + a·di + bdi
+ac + (ad + bc)i + bdi2

Es importante recordar que i2 = -1. Substituto -1 para i2 en la ecuación:
= ac + (ad + bc)i + bd·(-1)
= ac + (ad + bc)i - bd·
= ac - bd + (ad + bc)i

Aquí está un ejemplo:
(1-3i)·(- 6+2i)
= 1·(- 6) +1·2i+ (- 3)·(- 6) i+ (- 32i2
= -6+2i+18i-6i2
= -6+20i-6i2

Substituto -1 para i2 en la ecuación:

-6+20i-6i2
= -6+20i-6(-1)
= -6+20i+6
= -6+6+20i
= 0+20i
= 20i

Propiedads de números complejos

PropiedadValorEjemploDescripción
Elemento neutro de suma 0+0i 3-4i + 0+0i = 3+0 + (- 4+o) i = 3-4i La elemento neutro de la suma es el número que, cuando está sumado a cualquier número complejo, da el número original sin cambiar. La elemento neutro de la suma para los números complejos es 0+0i.
Identidad multiplicativa 1+0i (- 1+4i) * (1+0i) = (- 1*1+-1*0i+4i*1+4i*0i) =-1+0+4i+0i =-1+4i La identidad multiplicativa es el número que, cuando es multiplicado por cualquier número complejo, da el número original sin cambiar. La identidad multiplicativa para los números complejos es 1+0i.
Lo opuesto - (a+bi) = - uno-BI 3-2i + -3+2i = 3+ (- 3) + -2i+2i = 0+0i Lo contrario del añadido de un número complejo es el número que cuando está agregado al número original da la identidad aditiva. La identidad aditiva de un número complejo arbitrario a+bi es - (a+bi) = - uno-BI.
Lo inverso multiplicativo (a+bi) ^ (- 1) =1/(a+bi) =1/(a+bi) * (uno-BI)/(uno-BI) = ()/(del uno-BI a^2+b^2)= (a (a^2+b^2) - BI (a^2+b^2) (2-3i) ^ (- 1) =1/(2-3i) =1/(2-3i) * (2+3i)/(2+3i) = (2+3i)/(2^2+ (- 3) ^2)= (2 (4+9)+3i/(4+9)=2/13+3/13i Lo inverso multiplicativo de un número complejo es el número que cuando es multiplicado por el número original da la identidad multiplicativa. Lo inverso multiplicativo de un número complejo arbitrario a+bi es
a (a^2+b^2) - b (a^2+b^2) i.
Propiedad del asociado de la suma (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)]= [(a+bi) + (c+di)]+ (e+fi) (2-3i) + [(5 + 2i) + (- 3 - 6i)]= [(2-3i) + (5+2i)] + (- 3-6i) La propiedad asociativa de la suma indica que no importa la orden en la cual se agregan los números complejos.
Propiedad comutativa de la suma (a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi) (2-4i) + (- 3-i) = (- 1-5i) = (- 3-i) + (2-4i) La propiedad comutativa de la suma indica que los sumandos de números complejos pueden ser cambiados sin el cambio del resultado.
Propiedad del asociado de la multiplicación (a+bi) * [(c+di) * (e+fi)]= [(a+bi) * (c+di)]* (e+fi) (5+2i) * [(- 3-6i) * (2-3i)]= [(5+2i) * (- 3-6i)]* (2-3i) implica (5+2i) * (- 24-3i) = (- 3-36i) * (2-3i) implica -114-63i=-114-63i. La propiedad asociativa de la multiplicación indica que no importa la orden en la cual se agregan los números complejos.
Propiedad comutativa de la multiplicación (a+bi) * (c+di) = (c+di) * (a+bi) (1+2i) * (- 2+i) = (- 2+i) * (1+2i) implica -4-3i=-4-3i La propiedad comutativa de la multiplicación indica que los multiplicandos de números complejos pueden ser cambiados sin el cambio del resultado.
Cuadro 1: Propiedads de números complejos.

Adición

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El manipulante 1: Adición de números complejos. Creado con GeoGebra.

Multiplicación

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Lo opuesto

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El manipulante 3: Lo opuesto de un número complejo. Creado con GeoGebra.

Lo inverso multiplicativo

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El manipulante 4: Lo inverso multiplicativo de un número complejo. Creado con GeoGebra.

Citar este artículo como:


Número complejo. 2009-04-03. Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. http://www.allmathwords.org/es/c/complexnumber.html.

Traducciones

créditos de imagen

  • Todas las imágenes y manipulatives están por David McAdams a menos que estén indicadas de otra manera. Todas las imágenes de David McAdams son & de los derechos reservados; © Life is a Story Problem.org y se puede reproducir para el uso educativo no comercial solamente.

La historia de revisión


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish. (babelfish.yahoo.com.)
2008-12-26: Ecuaciones cambiadas del HTML a las imágenes (McAdams, David.)
2008-07-17: Adición, multiplicación, y características agregadas de números complejos (McAdams, David.)
2008-06-09: Apartado relativo agregado a números imaginarios. Imágenes cambiadas a las ecuaciones (McAdams, David.)
2008-03-25: Cambió más información al estándar actual (McAdams, David.)
2007-07-12: Versión inicial (McAdams, David.)

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