Solucionar una ecuación

La mayoría de los problemas de matemáticas que usted encontrará en álgebra implican el solucionar de ecuaciones. La idea es encontrar una solución a la ecuación. Una solución es un conjunto de uno o más valores que, cuando están substituidos para las variables, hagan la ecuación verdad.

Solucionar ecuaciones es una de las habilidades más importantes de la matemáticas a aprender. Hay varias clases de ecuaciones que usted encontrará en sus estudios:

  • Escoja las ecuaciones variables del grado uno por ejemplo x+3 = 2x-4. La meta en solucionar estas ecuaciones es conseguir la variable por sí mismo en un lado del signo igual. Qué se deja en el otro lado de la ecuación es el valor de la variable.
  • Escoja las ecuaciones variables del grado dos por ejemplo 2x2-3x+4 = 0. La fórmula cuadrático se utiliza para estas ecuaciones cuadráticos.
  • Dos ecuaciones variables del grado uno por ejemplo y = x-4. Estas ecuaciones son ecuaciones lineares. Pueden ser representadas gráficamente como recta. Las ecuaciones lineares con dos variables tienen soluciones infinitas.
  • Dos ecuaciones de dos variables, cada uno que es grado uno por ejemplo y = 3x + 7, y=-x-4. Esto se llama un sistema linear. Los sistemas lineares no tienen ninguna solución, una solución, o soluciones infinitas.
Hay otros tipos de ecuaciones para solucionarle puede encontrar en clases más avanzadas. No serán discutidas aquí.

Índice del artículo

Qué significa solucionar una ecuación?
Propiedad de los números usados para solucionar ecuaciones
espacio vacíoUsando la suma y la resta para solucionar una ecuación
espacio vacíoUsando la multiplicación para solucionar una ecuación
espacio vacíoUsando la división para solucionar una ecuación
espacio vacíoUsando la propiedad distributiva para solucionar una ecuación
Solucionando una ecuación gráficamente
Solucionar una ecuación cuadrático
Solucionar una ecuación variable múltiple

¿Qué significa solucionar una ecuación?

Para solucionar una ecuación es descubrir lo que dice la ecuación a una sobre los valores posibles de una o más variables. Tome la ecuación x+3 = 2x-1. ¿Qué esta ecuación dice a una sobre el valor de x? Para descubrir, solucione la ecuación.

Solucionar una ecuación linear de una variable implica el conseguir de la variable en un lado del signo igual por sí mismo. Para hacer éste utiliza las propiedads de números.

Propiedad de los números usados para solucionar una ecuación

PropiedadEjemploDescripción
Propiedad desumar ceroDado un número real x; x+0 = xCero suma a cualquier igual del número el número original.
Propiedad de la suma de la igualdadDado tres números reales a, b, y c; si a=b entonces a+c = b+cSi dos números son iguales, después de agregar el mismo valor a cada número, la suma siga siendo igual.
Propiedad de la resta de la igualdadDado tres números reales a, b, y c; si a=b entonces ac = bcSi dos números son iguales, después de restar el mismo valor de cada número, la diferencia siga siendo igual.
Propiedad de multiplicarse por 1Dado números reales x; 1·x = xCualquier número se multiplicó por 1 se iguala.
Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y la restaDé 3 números reales a, b, y c; a(b+c) = ab+acUn número multiplicado por una suma es igual a la suma del número multiplicado por cada término.
Propiedad transitiva de la igualdadDado tres números reales a, b, y c; si a=b y b=c entonces a=bSi dos números son iguales al mismo otro número, son iguales el uno al otro.
Cuadro 1: Propiedad de los números usados para solucionar una ecuación

Usando la suma y la resta para solucionar una ecuación

Comience con la ecuación x+3 = 5. Puesto que la meta es conseguir x por sí mismo, uno necesita hacer algo sobre los 3 que se agrega al x. Para deshacer la suma, utilice la resta:

PasoEcuaciónDescripción
1x+3 = 5Ecuación original
2(x+3) - 3 = 5-3Propiedad de la resta de la igualdad.
3(x+3)+ (- 3) = 5-3Definición de la resta.
4x+ (3+ (- 3)) = 5-3Propiedad asociativa de la suma.
5x+0 = 2Simplifique ambos lados de la ecuación.
6x = 2Propiedad de la suma por cero.
7(2)+3 = 5
5 = 5
Compruebe el trabajo substituyendo la solución nuevamente dentro de la ecuación.
Cuadro 2: Solucionando x+3 = 5.

Ahora comience con la ecuación x-2 = 1. Puesto que la suma deshace la resta, utilice la propiedad de la suma de la igualdad.

PasoEcuaciónDescripción
1x-2 = 1Ecuación original
2(x-2)+2 = 1+2Propiedad de la suma de la igualdad.
3(x+(-2))+2 = 1+2Definición de la resta.
4x+((-2) +2) = 1+2Propiedad asociativa de la suma.
5x+0 = 3Simplifique ambos lados de la ecuación.
6x = 3Propiedad de la suma por cero.
7(3) - 2 = 1
1 = 1
Compruebe el trabajo substituyendo la solución nuevamente dentro de la ecuación.
Cuadro 3: Solucionando x-2 = 1.

Usando la multiplicación para solucionar una ecuación

Comience con la ecuación x÷3 = 6. Una vez más uno quiere conseguir el x por sí mismo en un lado de la ecuación. Para deshacer la multiplicación, utilice la división:

PasoEcuaciónDescripción
1x÷3 = 6Ecuación original
2(x÷3)·3 = 6·3Propiedad de la multiplicación de la igualdad.
3x·(3÷3) = 6·3Propiedad asociativa de la multiplicación.
4x·1 = 18Simplifique ambos lados de la ecuación.
5x = 18Propiedad de la multiplicación por 1.
618÷3 = 6
6 = 6
Compruebe el trabajo substituyendo la solución nuevamente dentro de la ecuación.
Cuadro 4: Solucionando x÷3 = 6.

Usando la división para solucionar una ecuación

Al usar la división para solucionar una ecuación, una debe estar segura de no dividir por cero. Puesto que la división por cero es indefinida, la división por cero dará resultados indeseables e incorrectos. Comience con la ecuación 3x = 6.

PasoEcuaciónDescripción
13x = 6Ecuación original
2(3x) ÷3 = 6÷3Propiedad de la división de la igualdad.
3(x·3)÷3 = 6÷3Propiedad comutativa de la multiplicación.
4x·(3÷3) = 6÷3Propiedad asociativa de la multiplicación.
5x·1 = 2Simplifique ambos lados de la ecuación.
6x = 2Propiedad de la multiplicación por 1.
73·2 = 6
6 = 6
Compruebe el trabajo substituyendo la solución nuevamente dentro de la ecuación.
Cuadro 5: Solucionando 3x = 6.

Usando la propiedad distributiva para solucionar una ecuación

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y la resta se utiliza a menudo para solucionar una ecuación. El ejemplo en el cuadro 6 utiliza la propiedad distributiva para quitar paréntesis.

PasoEcuaciónDescripción
13 (x-4) = 3Ecuación original
23·x-3·4 = 3Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y la resta.
33x-12 = 3Simplifique.
4(3x-12) +12 = 3+12Propiedad de la suma de la igualdad.
5(3x+-12) +12 = 3+12Definición de la resta.
63x+ (-12+12) = 3+12Propiedad asociativa de la suma.
73x+0 = 15Simplifique.
83x = 15Propiedad de la suma por cero.
9x·3 = 15Propiedad comutativa de la multiplicación
10x·3÷3 = 15÷3Propiedad de la división de la igualdad.
11x·1 = 5Simplifique ambos lados de la ecuación.
12x = 5Propiedad de la multiplicación por 1.
133 (5-4) = 3
3·1 = 3
3 = 3
Compruebe el trabajo substituyendo la solución nuevamente dentro de la ecuación original.
Cuadro 6: Solucionar 3(x-4) = 3.

El ejemplo en el cuadro 7 utiliza la propiedad distributiva para combinar dos términos que contienen la misma variable.

PasoEcuaciónDescripción
13x = 2x + 3Ecuación original
23x - 2x = 2x - 2x + 3Propiedad de la suma de la igualdad.
33x - 2x = 0 + 3Simplifique.
43x - 2x = 3Propiedad de la suma por cero.
5x(3 - 2) = 3Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y la resta.
6x·1 = 3Simplifique.
7x = 3Propiedad de multiplicarse por 1.
83·3 = 2·3 + 3
9 = 6 + 3
9 = 9
Compruebe el trabajo substituyendo la solución nuevamente dentro de la ecuación.
Cuadro 7: Solucionando 3x = 2x + 3.

Solucionando una ecuación gráficamente

Esta sección describe cómo utilizar una calculadora de representación gráfico gráficamente TI-83 o TI-84 para encontrar la raíz media de x3-0.5x2-2x+1. La mayoría de las calculadoras de representación gráfico gráficamente tienen una manera de solucionar ecuaciones gráficamente. Compruebe el manual del usuario para saber si hay su calculadora.

PasoPantallaDescripción
1Pantalla en blanco de la calculadora TI-83/84.Chasque el botón del <CLEAR> hasta que usted tenga una pantalla en blanco.
2Pantalla de la calculadora TI-83/84 para las ecuaciones inputing al gráfico. No hay el demostrar de las ecuaciones.Chasque el botón del <Y=> en la fila superior para ver la pantalla de representación gráfico gráficamente de la ecuación. Si hay algunas ecuaciones que demuestran, utilice la llave del <CLEAR> y hacia arriba y hacia abajo las flechas para borrar todas las ecuaciones. Entonces chasque la llave de flecha ascendente hasta que esté en la posición superior.
3Pantalla de la calculadora TI-83/84 para las ecuaciones inputing al gráfico. La ecuación x^3-0.5x^2-2x+1 está en la fila de Y1=.Incorpore la ecuación x3-0.5x2-2x+1 usando los golpes de teclado siguientes: <X, T, ?, n>, <^>, <3>, <->, <0>, <.>, <5>, <X, T, ?, n>, <x2>, <->, <2>, <x>, <+>, <1>.
4Pantalla de la calculadora TI-83/84 para los parámetros de representación gráfico gráficamente de la ventana que entran.Chasque encendido el botón del <WINDOW> para cargar la pantalla de representación gráfico gráficamente del parámetro de la ventana. Utilice las llaves del número y hacia arriba y hacia abajo los botones de la flecha para incorporar los parámetros de la ventana como demostración en la imagen de pantalla. Al incorporar números negativos, cerciórese de utilizar < (-) > la llave en la fila inferior de la calculadora. Los medios etiquetados dominantes del <-> restan, para no negar.
5Pantalla del diagrama de la pantalla de la calculadora TI-83/84 que demuestra un gráfico de la ecuación y=x^3-0.5x^2-2x+1.Chasque el botón del <GRAPH> en la fila superior de la calculadora. El gráfico de x3-0.5x2-2x+1 aparecerá en la ventana que usted especificó.
6Menú del zumbido de la calculadora TI-83/84.Chasque el botón del <ZOOM> para ver el menú del zumbido.
7Menú del zumbido de la calculadora TI-83/84 con la opción 2-Zoom en seleccionado.Chasque abajo el botón de la flecha una vez para seleccionar la opción 2-Zoom del menú adentro.
8Calculadora TI-83/84 con la ecuación x^3-0.5x^2-2x+1 gráfica gráficamente y la opción del zumbido activada.Chasque la llave del <ENTER> en la esquina correcta inferior de la calculadora para volver al gráfico con la opción del zumbido activada.
9Calculadora TI-83/84 con la ecuación x^3-0.5x^2-2x+1 gráfica gráficamente y la opción del zumbido activada. Los coordenadas del zumbido son x=.55319149 y y=0.Chasque el botón de la flecha derecha hasta que los pelos cruzados estén cerca de la intercepción media. Los números en la parte inferior de la pantalla cambian para demostrarle los coordenadas del pelo cruzado.
10Calculadora TI-83/84 con la ecuación x^3-0.5x^2-2x+1 gráfica gráficamente y la opción del zumbido activada. Los coordenadas del zumbido son x=.55319149 y y=0. El gráfico ha enfocado adentro en los pelos cruzados.Chasque el botón del <ENTER> para enfocar adentro en los coordenadas del zumbido.
11Calculadora TI-83/84 con la ecuación x^3-0.5x^2-2x+1 gráfica gráficamente y la opción del zumbido activada. Los coordenadas del zumbido son x=.5 y y=0.Chasque encendido el botón de la flecha izquierda hasta que los pelos cruzados estén sobre la intercepción. Los coordenadas del zumbido deben ser x=.5 y y=0. La intercepción correcta es x=0.5. Usted puede chascar encendido la llave de entrada otra vez para cerciorarse de que usted está tan cerca a la intercepción como sea posible.
Cuadro 8: Usando la calculadora TI-83/84 para encontrar una raíz de x3-0.5x2-2x+1.

Solucionar una ecuación cuadrático

Las ecuaciones cuadráticos en la forma ax2 + bx + c = 0 se solucionan usando la fórmula cuadrático:
x= (- raíz de b+-square (b^2-4ac))¡/(2a) a!=0

La a, el b y la c en la fórmula cuadrático son la a, el b y la c en la ecuación cuadrático. Debido a el ± en la ecuación, una ecuación cuadrático puede tener dos soluciones.

Si el discriminante b2 - 4ac es mayor de cero, la ecuación cuadrático tiene dos soluciones verdaderas. Una solución real es una solución que es un número real. Si el b2 discriminante -4ac es 0, la ecuación cuadrático tiene una solución verdadera. Si el discriminante b2 - ac es menos de cero, la ecuación cuadrático tiene dos soluciones complejas. Una solución compleja es una solución que es un número complejo.

El solucionar usando la ecuación cuadrático
PasoEcuaciónDescripción
espacio vacío2x^2-4x-2=0Ecuación a solucionar
1x= (- raíz 4+-square (4^2-4*2* (- 2))/(2*2)Substituya a = 2, b = -4 y c = -2 en la fórmula cuadrático.
2x= (- raíz 4+-square (16- (- 16)))/4Simplifican exponentes y la multiplicación dentro de paréntesis.
3x= (- raíz 4+-square (32))/4Simplifican la resta dentro de paréntesis.
4x= (- raíz 4+-4*square (2)) /4Desde 32 = 16·2 y 16·√2 = 4√2, reescriben el radical como 4√2.
5x= (- 4) /4+- (raíz 4*square (2)) /4Utilice la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y la resta para partir la fracción en dos fracciones.
6raíz de x=-1+-square (2)Simplifique cada fracción.
7raíz de x=-1+square (2); -1 raíz cuadrada (2)Cambie el ± en dos ecuaciones, una usando + y la otra usando -. Esta ecuación cuadrático tiene 2 soluciones.
Cuadro 9: Solucionando 2x2 - 4x - 2 = 0 usando la fórmula cuadrático.

Solucionar una ecuación variable múltiple

Al solucionar una ecuación variable múltiple, una soluciona para una variable. Por ejemplo, dado la ecuación x + y = 2, una puede solucionar para el x variable o para el variable y. En este ejemplo solucionaremos para el y.

x + y = 2Ecuación a solucionar en forma estándar
x + y - x = 2 - xReste x de ambos lados.
y = 2 - xSimplifique el lado izquierdo de la ecuación.
y = - x + 2Ponga la ecuación en forma de la pendiente y la intercepción.
Cuadro 10: El solucionar para y

Citar este artículo como:


Solucionar una ecuación. 2009-04-03. Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. http://www.allmathwords.org/es/s/solvingequation.html.

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La historia de revisión


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish. (babelfish.yahoo.com.)
2008-07-25: Versión inicial (McAdams, David.)

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